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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @V"`N  
+x0Lu D<  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. v>%EjT}8*G  
rv7%D!h0  
　　1、三角函数本质： w^Nz@Goq8  
gzA<V;/^  
　　三角函数的本质来源于定义  y|h)N@  
aN |12e~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 VeF VYKh~i  
C :8cwW(R  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 |IOrUA9PJ  
O_<J]`h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： )kW`P!]  
NrJZ^u78&  
　　推导： zU9oZ  
>0 _&%  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 F_nqZO|pT  
H3DD@kvA  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) an:ke Y@)v  
}dhf{S M  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) B x$#11b  
YtH3iJ] u  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 rk~\   
djom(O;  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #Y O:?#T  
SnA6^\M  
　　[1] i(~C nkG  
=CMFI`t|  
　　两角和公式 8: #hJ=Lc  
dY,_XP^>$,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %8'vuw>  
d^TH~1icW  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  \T8rFK'  
.nRyx[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB kSyy]+#o_  
b.'6MW  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB #'>fDH-  
QsM5uB+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) mi`Y' O\  
\q:iSK$v>  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Pa A mtW  
i )\a2E  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  HoPc oCJL  
ZGd7ZN`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ZwA+~1f  
h99G#x+  
倍角公式 !Ox|ZND_  
zn7Y&Fwc%C  
　　Sin2A=2SinA•CosA F"@Ge.5L  
7*8[q(zw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :`=g~Z  
4 oid&  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 1#?ACdlh  
7{^Y7Ddg&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） KTB*#$P@  
BL7u^s$j  
三倍角公式 K9y2]b  
r=}..Q#  
　　 Bol gU/C+  
-Kb2MDl8w  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) bn1' un9  
vh]4?lp  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 7D -p?   
=\Q4[Mc<q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) nZ~g 1@[Z  
ci:Y%ke  
三倍角公式推导 =s_ O1TwY  
CI.}t*H4}  
　　sin3a Q ? dLPel  
m,^=CJ"b  
　　=sin(2a+a) dq_R-<#5b  
`(sr`s*DB  
　　=sin2acosa+cos2asina K>\ *iL`  
AZpN   
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,<^1#/AZ  
[+9-rv}  
　　=3sina-4sin³a o<(n.oa)  
`HL_L.c"  
　　cos3a ^a|-Mz>(X  
K+('2LQ  
　　=cos(2a+a) S&[rnA  
?bB;q[a|)  
　　=cos2acosa-sin2asina Kj$(1  
kw PfQo^  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lRIuZrJUH  
4`9z2F  
　　=4cos³a-3cosa p&D|p@WlE  
6=\F-@,u  
　　sin3a=3sina-4sin³a e tY/$oT  
=y$T[ a  
　　=4sina(3/4-sin²a) V</:z##X  
j Z84PHK  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ST ,#[S*  
Uzz >&TZ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _^K0{?@iVi  
liWE|>]pC  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Y21=AE  
F#+Ud3wdXd  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] UYKE jN  
w^Y -W6I  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) yzFu4!{  
?Ugp1 5B  
　　cos3a=4cos³a-3cosa jV{+~#td  
O$C+&ISo4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =nu;qZ|  
D\DgLU VP  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] d 6/eX *A  
T`T$i=J  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 6YV\)g ]  
ICk<H!q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0*!og<|  
 C)gi  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3F:hS=  
 hrDC}Wu  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +AFl{:g_  
Z{^YQN|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] wQcvi9:  
X'XH_cq*r  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 6rkmD&  
qF$4  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) -M5RWyH?!  
+vUt:.\  
　　上述两式相比可得 Cu)Xo  
#nG72+C  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) !8W/64 V  
i-:'&  
半角公式 J"EGep^"B  
GY`l hN4c  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +h"uq{<c;  
OS<g(FDE(/  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. FNn]ksck(  
-<z;(@D9a  
和差化积 B![isT]N  
B,:%G}z  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] z7fC98 ry  
7L^D'X,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] v(:zR[6n x  
k&r+"U7  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "NFM`<BRL  
s0w<s&K  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qn~`1 :[  
&1ps5#$-"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) I`sC 2i"Df  
'7coM-  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Nx:gC@?r  
u{x/  
积化和差 h XTZFn(  
+o &s#>!3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] #%*MuH#9  
"vr(u5  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] R j-*!Fd  
kqx?]HX  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] II\*6suJ  
\O Q9/)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Oi L*v:Q0  
(k&%PW  
诱导公式 +uG6!h0*  
? @mvY91^  
　　sin(-α) = -sinα `bP~  
5(BxMh&pi  
　　cos(-α) = cosα Tg9s}(  
aGe><d*  
　　sin(π/2-α) = cosα OIaK:   
ijg$dW.~  
　　cos(π/2-α) = sinα [7pp):u`k  
0JH]~w3CS  
　　sin(π/2+α) = cosα ?!  %1=Y  
NS#E%Qvt  
　　cos(π/2+α) = -sinα eH9OIVsE  
T_nx|{5`  
　　sin(π-α) = sinα -.BqFi7E  
W^Twkm[!  
　　cos(π-α) = -cosα ==b`U} kI`  
F<+C9Fkn  
　　sin(π+α) = -sinα W'M=b#i.  
~2KJ#s[z:  
　　cos(π+α) = -cosα )qMMr  
O=W!IWfTkc  
　　tanA= sinA/cosA )S Q_+ @  
i,# (9  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα )cq<3Y  
0OT<KnvH&9  
　　tan（π/2－α）＝cotα +|LIQs +  
*\MC0S@  
　　tan（π－α）＝－tanα _y<"itrV\  
NRNl),|  
　　tan（π＋α）＝tanα |; S: r(\  
T}~hU  
万能公式 ~6Gbpxpz  
BhgkyjX~  
　　 /$fo1N1  
6f4??l@  
其它公式 }$AP}b#  
k?Nz9 H  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 o|xHGs?(b  
4s\8J  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 +98bt<[  
Cs;N{ee  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 opI n(  
p7Ln-$0;cw  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7 tL'n6  
q^pe5<F>&p  
　　对于任意非直角三角形,总有 sbNG|RM  
R]6E <=,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC JZmW,B0Z#  
N L9cQBy  
　　证: NO p 'D  
F~0:n1P{2)  
　　A+B=π-C (2S4N#U  
jG.ZoMRy  
　　tan(A+B)=tan(π-C) I"ba@oDl  
JC1 Xr  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {n =  
X9>S$A!hy  
　　整理可得 zdV!z?<t  
p#(q$=%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #Cox<u  
2=Q"QZ=<  
　　得证 >Aka(3R  
o{PyG 3  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 l/(wPIM7  
h p V)HT  
其他非重点三角函数 u7t]fFL(  
*gx^Q,  
　　csc(a) = 1/sin(a) lsy>v/T_  
]jk?f n8E  
　　sec(a) = 1/cos(a) okqnd=`ei]  
4lS;zhe  
　　 >\,U#&fr  
W 9IhP5cy  
双曲函数 !:tdfnvX  
&*8+A`Di3  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4Fw  
p'A )#%  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 t~)G?F(`  
m/D4cn(s8D  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) C\XDvW]B}  
7}T\b ]f  
　　公式一： WHBFkR  
)cW}"Tm$  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： qp43!= \A  
l~ty# +=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα `gP|qn  
H`w=dxR  
　　cos（2kπ＋α）= cosα //B(QcU  
SdZ/L8@U  
　　tan（kπ＋α）= tanα `EQ@^DGI  
6nKllqY  
　　cot（kπ＋α）= cotα z.NWPh  
b1"^#mdt  
　　公式二： 6w'13%Xb  
<ZI`N#zd:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： xi-],a|I  
jgQ(U \js  
　　sin（π＋α）= -sinα *u&Q/7#:/  
;?;>WfO>  
　　cos（π＋α）= -cosα ^>0mG.:  
'\,4H 3C_  
　　tan（π＋α）= tanα SD3t3xGS  
w;g*Km4V  
　　cot（π＋α）= cotα {Hwc"wHlK  
B jM "E#  
　　公式三： f&g?lV   
W]DR-dL  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： <9; +E\()  
|mB~(p_!  
　　sin（-α）= -sinα f/Nln_  
/.~+U?@4O  
　　cos（-α）= cosα St o/nxP  
Vzq;yGn  
　　tan（-α）= -tanα 8!mLwK  
V!O#9`F  
　　cot（-α）= -cotα EKXt*0/GX_  
Q6b<  
　　公式四： 114ci]-A@  
)u1((.V%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ".Nd4:  
s;VkmM  
　　sin（π-α）= sinα mzFF~J~lL  
kUr>S7C  
　　cos（π-α）= -cosα a?~q n`  
t{e]P%w:T  
　　tan（π-α）= -tanα !2W1+bm  
4V\1LrQPv+  
　　cot（π-α）= -cotα M2M{X SsF  
75VTF{sE#  
　　公式五： G/]4V2][Z  
gymMmXS  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ruhoNG  
ZGm,13?![p  
　　sin（2π-α）= -sinα ^g v1:h#A  
 }A10= Y  
　　cos（2π-α）= cosα \ 2VTg  
f>poG<6  
　　tan（2π-α）= -tanα fzZUZv#Z9  
I{ -;pH4@  
　　cot（2π-α）= -cotα `_xIB#]$/Q  
Px(UkaAna'  
　　公式六： %\T& {x:  
JhDk5tJD  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： EE4@uQ.H  
"8cF]$|  
　　sin（π/2+α）= cosα xZ ]&<>oF  
;iHr\3yx~;  
　　cos（π/2+α）= -sinα 8iK0RH$  
Wt r854\d  
　　tan（π/2+α）= -cotα SKY-$A&p  
,AJ0la9,8  
　　cot（π/2+α）= -tanα &jpPX7f\  
/[]kM+)Us  
　　sin（π/2-α）= cosα E \a5nC  
\}te% F?  
　　cos（π/2-α）= sinα n=wt6 w  
O:XDd&Te  
　　tan（π/2-α）= cotα =|U"ZL!ws$  
*J zWOX"  
　　cot（π/2-α）= tanα iv|kUUNn  
T~+NX   
　　sin（3π/2+α）= -cosα RbS,;jHU  
"b 4C ,/   
　　cos（3π/2+α）= sinα <$ SY?F  
8iC1 (m(Fd  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #+!/y5"  
Tc :cSo  
　　cot（3π/2+α）= -tanα u. M :(  
M0~&v]5u-  
　　sin（3π/2-α）= -cosα b *~t7]n  
^y NeR+  
　　cos（3π/2-α）= -sinα kAbF?B;  
qzu%c K@B<  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1L/8+eHmh  
3=~d MizK  
　　cot（3π/2-α）= tanα y@sd9lxfM  
^_WsP\i`M  
　　(以上k∈Z) v4 i k  
epLId8omA  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &-[ou'7'4  
sCOaErkGV7  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $ECDUSrY  
xfy N iDW  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } C_l`Hu P:  
\Q/d{YsO)  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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