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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 qJQo`nlY!  
_)<uZC%+  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. #Mu]FZOZ]  
0&Q6CCS7  
　　1、三角函数本质： Ax'~'=  
,:1&xXI  
　　三角函数的本质来源于定义 ujFnlq:aL!  
[ hg$PED  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =.;Jz^afZS  
VupjTF9+j  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 q%e!BV5  
e9M; ZJWY'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u43RHi/'  
aB*g3kb?  
　　推导： OR&< T  
4'H/W>yz  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 m:ZM0f  
+y({+7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) d1GH#GZ'z  
>#-4  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -qu;7:Qpq  
qIZnTnI i  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 o}nMR`5b  
H>1f`h  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]xXX>]_p%  
KNNpFz5b  
　　[1] py[%FB#U@  
]-m\#c^d  
　　两角和公式 1JEBh,$eq  
,ymT$Eqr)  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB VGgNZBh  
iV7i'Rz3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  F5z-27l<k  
S/1?Y7!4Z  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB |L4)p x  
u)6]bK"of  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB efO6+N  
7d I+|9,Z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) R4R:1) a  
7s/1U!  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }QJNk  
@9x-+ 0,1  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  nB* W^` ]  
nccV>ZS  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tn e n,#  
H1fm~WF  
倍角公式 HJM1q)|z  
8"I[%Q/r  
　　Sin2A=2SinA•CosA hAqyJe(rK  
R|w/KaB  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 B|i^V!qMX  
x7O1Zq Kr  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） bXtJy4W_b  
rBXoxzD-y  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~BD]WPD  
Q6(X=  
三倍角公式 xH T21|X  
LnENwy1N  
　　 8}n1Zk:Lf  
+{8[+DN=&  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) KuyFF8T  
,\=$^,Zo2  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =\;k{&1@:  
Z|#s=i(M  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) :1 {mL: H  
@(/$KI"  
三倍角公式推导 -28O. h<!  
l:#yX#_  
　　sin3a D?sHVn]Nm  
` $+=0g m  
　　=sin(2a+a) N{Ppyee3  
)4GbC2%  
　　=sin2acosa+cos2asina G"LoV~X-v  
ap+  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 3<KnP!&cK  
Zll}-OZt1  
　　=3sina-4sin³a N\.4n1 b9  
*!5U5+]'s  
　　cos3a 'Sd#)Xou?  
&)%#t$[v.  
　　=cos(2a+a) 7Kqj2+=Tn  
pjB5ad@  
　　=cos2acosa-sin2asina sfPS'K qX  
<h^t[Y|V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa x]P~ >  
$NV;1[']  
　　=4cos³a-3cosa 8O~*9v],  
/:_O_  
　　sin3a=3sina-4sin³a *ESB.- $  
9>#~JU^Q[o  
　　=4sina(3/4-sin²a) }*H)yOU%  
V(>Rz?vE  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~/,8$UGSg  
D&&`#uaN  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) gejK. W  
~F_nO<]@  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (L[o2o??  
~d+'4"W)  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] mUl&*$N l  
gMc /j  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) qrqa`b6  
yKGlDt ;(  
　　cos3a=4cos³a-3cosa djSZ?oF<T  
ogP<kf'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \:^8!N)y  
F;wBsL -r  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ]qXgTWGtd  
x" %yazE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) e9^_k>=,9I  
S_e6kV8\  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  ]5nrG  
E &CeP  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $8zAS_ru  
}P>1`YIlnB  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) dTy\G{'  
?7hb[\ t  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] aUrbG*$S@  
. 8Fk7@  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )kA"9[  
x2Z)51JT  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) mE` Au;Gf  
1S".D   
　　上述两式相比可得 1K*0~e9.  
`>Ly7B<+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )5~^"WI?  
ShC67_Ty  
半角公式 "O[nHx6  
q;u ".U<A  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); p/IM _Z"  
 7$CNOm  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E?&Q g\&  
s RVW':8  
和差化积 L1o t:B  
MwfPkQ>I  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U`x:bxQyQ  
.YC$ "'SG  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -0 =+HV"#  
<$;MA @9  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |0JQPa8:\  
3(E"pZ0  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] w mcap%R?  
/bU-$U?fj  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2Rd?53D  
M{4fK34?!?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5%KIQ|Y\0  
;KW bDA}4F  
积化和差 +7p~H(  
<&dT`nWq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] A*}&32E79  
:Ad23d3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^m:EQ3w6  
\iEjn"V&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] JL6g=Gj\  
I98j&]|g  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] sL++>  
B jU=pS  
诱导公式 58gl\cDX#  
. 9WDg`}  
　　sin(-α) = -sinα _<*~T7E  
=-0g=;-Vno  
　　cos(-α) = cosα `">6XA  
n$9ygA  
　　sin(π/2-α) = cosα GwN{R3_m  
Px8AiU)$  
　　cos(π/2-α) = sinα Ye k._l  
dl\xn|;a}  
　　sin(π/2+α) = cosα a(S?`t8r  
eC4^J  
　　cos(π/2+α) = -sinα +T9b8.5e^  
b*Fz {<gFf  
　　sin(π-α) = sinα L d32Xl 8  
Sk!3  
　　cos(π-α) = -cosα rN!rbf7  
\"jP2{wc5  
　　sin(π+α) = -sinα 9f(icJ  
o_c>8\{  
　　cos(π+α) = -cosα c (.3 #8  
XoZu:J?}XD  
　　tanA= sinA/cosA D@$ $"k  
[<&X{  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα )uvF}i~  
`WT0^)2h  
　　tan（π/2－α）＝cotα P/Q]8   
)FU+N e'  
　　tan（π－α）＝－tanα {fFWGBRl  
N'dJ,tRR  
　　tan（π＋α）＝tanα 92;9&j^x  
)QXg2gb  
万能公式 VV[V F]V  
iL^ 1=I$  
　　 lWB6qb!   
UIg\@3 .  
其它公式 t3 2~Sl-o  
nTJ,.Y^:  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,J%4sS{g3  
z6ete.@9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 y7:$t+-7  
=CSq} 6#(  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 <a7 qBG  
S:(4=}z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 9oBi~30]  
UG1>"9J@  
　　对于任意非直角三角形,总有 XOqjP2.  
:efOm0<K  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q?2KC  
3Wi74[`r  
　　证: *iv*x+:U}  
,24XpL[j  
　　A+B=π-C +ZjcGx ]  
,rTdh|4  
　　tan(A+B)=tan(π-C) $ces9PS  
eQjB7?Lz'k  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ._roIb1<-  
8Qv87?y  
　　整理可得 H tQ,DS.  
o)b~tO +8v  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4Jm#K  
4YjbC]4/  
　　得证 )K&="Ps  
Dm* <pg(  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 < Q#X0"t  
Py^Wip_   
其他非重点三角函数 Hx0wz[7?}  
G }4f`Fi  
　　csc(a) = 1/sin(a) ] o;[H  
= ,/$B*  
　　sec(a) = 1/cos(a) w\, y$  
W!QJa0hOE  
　　 y`Pm}P84  
'v5sO-   
双曲函数 teEWuGeN  
d]u +q:[  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,xu-k{|  
=&Izbc:vs  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 [3VE3hPku  
I 9[f$8  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) eLx + G(  
qya36  
　　公式一： l7C,Px  
Qo|]N ]`  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： gy&*;  
_T6uXvdz  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Cp '#6`ubr  
>#[nP-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Z`ApDklS&  
38!K4$qo  
　　tan（kπ＋α）= tanα "R meG  
Ll( =S^Mp.  
　　cot（kπ＋α）= cotα yZ-=3'  
vJ\:$$:g  
　　公式二： 7y<=Cxz5rw  
1b1 E~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： U6c9%]f  
M@9 >O1h#  
　　sin（π＋α）= -sinα IwtO1UcA  
)K`?`*ni  
　　cos（π＋α）= -cosα OUrNJ GP  
Z O JveF  
　　tan（π＋α）= tanα ,d 2')Rp  
%GF*Z*  
　　cot（π＋α）= cotα CTFbca k]  
a8R_bd\?O  
　　公式三： +Q;egV7y  
)bxOn_{~  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： zddXX9   
*#DF  
　　sin（-α）= -sinα <IRZ em  
an:X}u-<  
　　cos（-α）= cosα !C3\X `k4  
6z `f (@T  
　　tan（-α）= -tanα 242PzC<  
TeWLS`k l  
　　cot（-α）= -cotα \t0 gFpGh  
?Wfx5<R  
　　公式四： kY.+  
lPz)`!zj  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !N@Qt%sO  
wgdL3+z3{  
　　sin（π-α）= sinα XA(grt  
_:mm,%UV  
　　cos（π-α）= -cosα wgYk&4:%  
-N]%k +VL  
　　tan（π-α）= -tanα dD9xJqnwO$  
bg#@H Gn  
　　cot（π-α）= -cotα U$eH7/i  
F9 gO;n/x  
　　公式五： =^YbjzC^  
<roomc=E  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &E`KxbLa  
wjR$'CYSXk  
　　sin（2π-α）= -sinα [ T=&'8  
bk<+(~  
　　cos（2π-α）= cosα lP9 ZwY  
*N0C5b$  
　　tan（2π-α）= -tanα vP$%pU=y  
Dd\NGu5  
　　cot（2π-α）= -cotα e6Q|Z7t4wz  
|?v9.3   
　　公式六： "Lk5##S  
v& X}%ik  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： /?pLl!f0  
dH F? <p8  
　　sin（π/2+α）= cosα k rB{j  
_p*,SN3_  
　　cos（π/2+α）= -sinα wRe1uGxj  
+7$C  
　　tan（π/2+α）= -cotα AC{A0 gi  
7sUG*& hZ  
　　cot（π/2+α）= -tanα 8q>}fO]  
<8" L#  
　　sin（π/2-α）= cosα +&Zm!G5  
Q^53.@)p  
　　cos（π/2-α）= sinα +$Gn"IP  
_ucOV  
　　tan（π/2-α）= cotα |B)" B  
 F' 9j|+  
　　cot（π/2-α）= tanα  @=*&1  
>vGu*T39  
　　sin（3π/2+α）= -cosα DUNfsf&,$  
sp3RZh^B|?  
　　cos（3π/2+α）= sinα 0>"1P^[d'  
/F]U$x0  
　　tan（3π/2+α）= -cotα |BgFj8cr[  
uY)v:$P<  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 9<NCY:GUnX  
D.3"z@x  
　　sin（3π/2-α）= -cosα LE\v~]b~z  
tl-HtA3W  
　　cos（3π/2-α）= -sinα &|] =Yb!l  
#mMUo_  
　　tan（3π/2-α）= cotα }Qf@h1N,  
hk=WuE]L,6  
　　cot（3π/2-α）= tanα nd92v@c  
DT//6`  
　　(以上k∈Z) 277RAA*-'  
^L6?BiL7n  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &BBsXXW  
/C!-R#2,c  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = IM=@ '!|  
(CG34AS>k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %YB#\W}p  
OXS\ F  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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