永福╉留痕

三角函数内容规律 [aQ1/#>J)  

j42'7QX6%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ,rErmN-  
a88O8V  
　　1、三角函数本质： lB!WbNTu  
%F&,)  
　　三角函数的本质来源于定义 \[J%946+  
, T8I2s*}q  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 S9sL|  
L^xs_1  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ?+BF  
wpf.1D3i  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： mR!x`$wIf  
gGNiXvh  
　　推导： BYsM |-[DJ  
(?D;ACTP9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 TNY4l0\v  
BBS5-/cz
 
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) { zbfSgk=  
y`pB(C)@  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) J&5%X+w--  
[9(N6 rdp  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 7N#zdrRfb  
H . AaP   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 6((>R*X,S{  
H>oOy![kU  
　　[1] R]jfTh  
^`6O&b;  
　　两角和公式  @ujAQ  
f=O<4%b*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB O`$8&5(f  
[cR L@/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  VaObLv%:  
=K9yb%gO\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^?)d?nH  
d#ZIkO  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DHf]w  
9:qE7q;jL  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :Z@J8j"6bm  
Z4@4X1Z=5  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 4{a=T8DQ  
sY<^1E0q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  BF=) c'f  
_P$2<@"BT  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) G(c5c#  
{v^!\1tb  
倍角公式 -h
*}noV6  
34rsJY$  
　　Sin2A=2SinA•CosA b-H}|IwJE  
rQVe0zZV  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HVdK..Kd  
<?qff9Te  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） '7miL!M  
<FS=YUG  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ` |7r|\9i  
[tHo)%  
三倍角公式 Te}
9%+  
Z,*`,c,>  
　　 74D97_|_  
ldmF|bef\  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ?Ewi@*~  
 'Q 4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Td2We1Uwr  
6ggA$ E  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) A0aar4:l  
FE'H!n  
三倍角公式推导 mu#]pfu  
AKp]xV ?F  
　　sin3a 5,7P'i7#
 
2P&cGE+"  
　　=sin(2a+a) jpo_c!  

N#%  
　　=sin2acosa+cos2asina T" "]ka+  
+nIWDc7gT  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *&|O3"@  
^gPc1`@\6  
　　=3sina-4sin³a \9urp&02'w  
zyhuh:}v  
　　cos3a /^PJ|,'::~  
5+={\-\W  
　　=cos(2a+a) Ollnppt  
iDlx& Z8v  
　　=cos2acosa-sin2asina L| z85(}  
| H:Q.va  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Hw}N[sbeC  
pAyflSa  
　　=4cos³a-3cosa }("~fL  
nP !`\=n  
　　sin3a=3sina-4sin³a =)h
=rGh  
Cli_v`!}  
　　=4sina(3/4-sin²a) uQ
k)U.yY  
T(qX*t@.[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,B8ZE-r)  
~+RmxE  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 2y_^/z&6[d  
kTi%<1&  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) *I/m a)19  
.X7G9"  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 0W?V>T'N7C  
d1E(htQE@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) P+Xsa7]  
6tz.D=N  
　　cos3a=4cos³a-3cosa MW2n@A$6  
!Aken/$8D  
　　=4cosa(cos²a-3/4) &+x.FW  
mFNc?Jk  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] l{59xd  
<<~E4@E#  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) i7}B]K&}s(  
J7C>P[  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Rk2Rv<E  
LD/=J,  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} |gop evCd  
8: ^P;+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Nn}k  
TI8uH?.Y  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ,>gHj  
TVxcP]|w%  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] hep\SYNAB  
EvTWi.g@  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) R4=f}/"t!V  
RNB< &f$  
　　上述两式相比可得 ^+#]M#u_x+  
B/MIlY++:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,jzU}c6F  
uFO:9!yS  
半角公式 F)Mh0K!Es  
[MQq`+<{C  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .6h,$>hxl  
A?HW<0$  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. v> @hudJpY  
hW{A >g`  
和差化积 ~n/NXj,B  
$oGYEYW  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *q7"Z[K\  
qdsjn%#)  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] sgOo#G  
i<
o1ja>  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n_51J:$  
!I[r  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '#>p5:  
gw{U&HB%t  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) j =kQ3}  
$2 VpO  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) MlDL9A1P  
?mc)gT6A  
积化和差   <-r  
.ENX4wZ  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] hTq|cL=/  
VEMGsaH/5  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .Z1p ,f  
9GF
~e  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #v%b$'`  
N D  :  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [@7461
de  
R<ND0]t%  
诱导公式 "ml/G:JT]  
^F*JgA[<  
　　sin(-α) = -sinα U'%fD%AO  
HLq7IV)  
　　cos(-α) = cosα 4 y|83z  
]9F+3ob@  
　　sin(π/2-α) = cosα &=s^6h9#w  
sYAqPN"?  
　　cos(π/2-α) = sinα Gk$*bko;  
^`U"WW+  
　　sin(π/2+α) = cosα b_iP1bZKC  
89BA e  
　　cos(π/2+α) = -sinα %*p\~y*h-  
KdE +Q  
　　sin(π-α) = sinα Le3P$zsu~X  
BvO)@*'  
　　cos(π-α) = -cosα
RpB UC  
RZ98wY%  
　　sin(π+α) = -sinα X-msngd  
.7VM!9|)p  
　　cos(π+α) = -cosα ?XzY1nnH  
nK:,5  
　　tanA= sinA/cosA 6-Uo):r:;  
kRz)$e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα &Dqg&V  
>.-Zd-Z   
　　tan（π/2－α）＝cotα /Q|,s^\  
yrr<X*x  
　　tan（π－α）＝－tanα Q5pq?EXz  
mi"2U"E[f  
　　tan（π＋α）＝tanα \+xE=5mnT?  
hwW!zr4e  
万能公式 oFu_#|7W  
E 60[Bz]  
　　 YQ/1i67k  
\`IQy883  
其它公式  bKZ  
&;_*)B  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1
<P O{  
5p-BWd  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 d<9cN f~  
FbR$&})r*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 SY Sw,j  
Jm[%ZL'}  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Z")x.^O  
BigZ1x#YC0  
　　对于任意非直角三角形,总有 4($Awj &Y  
rcN@M83  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~v:V#TZ  
:MsWvRkK%  
　　证: &a~Y5<?<  
Y<&-"D@Ut  
　　A+B=π-C h?n>sS
  
ejJEC",j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) s1ocq  
Jzkz{x06  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) U1-R{c(9p  
a 0IFw"U  
　　整理可得 UcV)?u  
5q\4G!Er)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ()IHs/+B%  
fd5f@  
　　得证 kgAnUp  
Lk]
EC\  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 o]eUP)}6  
'f3iN//~  
其他非重点三角函数 &0x |YF&^W  
04|P|2<6  
　　csc(a) = 1/sin(a) H{|Yb7r  
Y{yyaXl wf  
　　sec(a) = 1/cos(a) 9Qbv~
EZ u  
V0h=k! I  
　　 |M|*#Wt5P  
 [ b] )  
双曲函数 v"jar%  
xk*\ZFfGO  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 wb1WcF"  
;!ln'`mY
 
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ;b
,fP ja  
9)~XkIG36  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) c8>18f AR  
(XR" =  
　　公式一： E#w|^Fu`z  
y FB440/  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： T)qY
gAm  
9:;-q3*a9  
　　sin（2kπ＋α）= sinα \.R<708  
@%k  
　　cos（2kπ＋α）= cosα fsC?M!DD  
~0$C${pN  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7;d&3e9q7  
:~5"wb?.  
　　cot（kπ＋α）= cotα S~&aT%~4  
znQdJIK  
　　公式二： og97 7>c  
&1S_$[w' T  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： :_VR3iAD  
HD(~qFP9J  
　　sin（π＋α）= -sinα ]Jv0B< #  
i3R83P  
　　cos（π＋α）= -cosα  Wxow$j  
%&DsZ/|4  
　　tan（π＋α）= tanα 7sQ* P g  
c1 f&d #  
　　cot（π＋α）= cotα /g:[_  
WU-$#91,.  
　　公式三： O= C41)[  
R.K1Xk@H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @B'S _-}  
<0| C5`.w  
　　sin（-α）= -sinα "zsovL  
*'$437R  
　　cos（-α）= cosα FonaI8+j  
xz}D"S]J  
　　tan（-α）= -tanα ](V-SHL(  
/._6{;ro  
　　cot（-α）= -cotα RO+n@'d>  
f;9*P5)\b  
　　公式四： ~R8G/6;  
Z|=3(/L-  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 5'5G* #/  
<,XHT~
 
　　sin（π-α）= sinα {%P{C+:  
ObNBzcvMe  
　　cos（π-α）= -cosα AIy@I"VS?`  
5sO2E.u0U  
　　tan（π-α）= -tanα hC=T$Ig=  
;kqiex1Ps  
　　cot（π-α）= -cotα >0S8_X53M  
aU7m1uC  
　　公式五： qgh2x0a  
h[1:v  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Jh[n)rsoi#  
0M.:iZ'  
　　sin（2π-α）= -sinα 2W
vq,1c  
m[^(0\K'  
　　cos（2π-α）= cosα 1[&~c,3  
SMZ@T!f!C  
　　tan（2π-α）= -tanα 7FpdZv.  
/QB!_el  
　　cot（2π-α）= -cotα VHO}R  
SC8!
R&  
　　公式六： ~.K  
.srAKe|T  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 3i\e+IoVJ  
luf4Jf  
　　sin（π/2+α）= cosα ?<`[b Z]  
TeH,e9'l  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;r #sh  
AGD,EO@  
　　tan（π/2+α）= -cotα +UU}..CL  
>_T(^\  
　　cot（π/2+α）= -tanα ; j.|G7d  
s~3m e<C  
　　sin（π/2-α）= cosα E"rF^JKTZ  
C~(C#%C}/.  
　　cos（π/2-α）= sinα 2e!GpI/"  
O;)lq%  
　　tan（π/2-α）= cotα hU:#-lE;m  
h]T6x;#  
　　cot（π/2-α）= tanα }6 >)9K40  
#j_\957L  
　　sin（3π/2+α）= -cosα n.C{J>=V  
+*Q1t  
　　cos（3π/2+α）= sinα tnB|nMO+  
eSn v|tn1  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Gw-N,/~/  
`tW*urKTx  
　　cot（3π/2+α）= -tanα j&j.L^G7a  
2rV;e^'<bp  
　　sin（3π/2-α）= -cosα vZ/qW@\  
jFP3m`  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #C ^z@pO>  
If}ar7I5  
　　tan（3π/2-α）= cotα Q^A!GL]  
z'!^
~WE3  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2i% xK:|  
:)xe0#Q  
　　(以上k∈Z) `u|&-ZK  
H0YTn;4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 omL<z  
SOt9Z=|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Lj@G/>B%  
VOl)eAEr  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } UT&IW/DfZ  
i+yDF$:t  
　　√表示根号,包括{……}中的内容