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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 l5GiL3g~  
fGJ-Ln>5j  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [7oGvQLM  
d ,)}--n[  
　　1、三角函数本质： /8o0B7^/a7  
Y-=Be~'  
　　三角函数的本质来源于定义 AGd P~6n  
[A7+d.  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &!2st  
|<mF31  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 AxY-jT  
8o3W_@f6|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Mkx?X@  
&P{V<V  
　　推导： {xEAPab^I  
@A3767  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 K[cnye+  
(dQGnq62  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @4f>l  
;sxGK#W  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) '`~"`Vm'  
A,/sq M+(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )bUU[zy  
e(F7)a{)o  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） jXI=K`O.h`  
_<]bi1  
　　[1] { aI=UC+  
7h<sD  
　　两角和公式 rvK>=K  
N _(G-5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $I=;-sm  
~TsoUKui  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  rpJ5gI_L  
Sh_5,K]p!_  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB B]@EO~G  
<5_4f@oK  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB '~"W/JpZ?  
D3 mA=%_:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _ 1Nk  
l.y 7pio  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 8Xa <Kk|t  
9rAF>%%9  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  @(MfJO  
72 GN+xY  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) :6V bM  
en]0_J7  
倍角公式 yQWy J;:w7  
VLZ#2"<P  
　　Sin2A=2SinA•CosA #_<I|}@-_  
b$#nOZSx9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 e;`AKOw  
7-8uY#n  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  ]$2ur  
Kz1p1MCG6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） lbvm  
,b.?<$:  
三倍角公式 T+"_v8Wv  
G[CW+&  
　　 6N _DKPn@  
Ai*NG  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 1G=pVa\%V<  
;w6;Uz]?  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) [Qb ^rYa  
fbLG~m  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) $$$2L;m  
T(qAR4z@z  
三倍角公式推导 Dh_x4Is  
=(uuIbw#  
　　sin3a w O9BB3)b  
^2<U<WCk  
　　=sin(2a+a) b] eh=|9}w  
Yrr{EY*{!  
　　=sin2acosa+cos2asina p~'vA<:$E  
;Fd>q  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina gUQ Cp  
$d_$1j^  
　　=3sina-4sin³a ;K/YW@>  
v`&"_+  
　　cos3a +W7S%$7U  
7{d('No[K  
　　=cos(2a+a) L%'k#H7  
Mi(H0s02;|  
　　=cos2acosa-sin2asina YefUzzc  
]m>-/sS<  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 7&";@\K(hM  
#A+o M|y  
　　=4cos³a-3cosa W l#BI  
M\yCj  
　　sin3a=3sina-4sin³a i(| +X!c  
.Ci "u`  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^w wVx[  
!G}*0`/k{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] r)l9,B  
S$PV  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 7?7B/M  
hA.#ixg  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :7bSQm[F  
5jH*<h-{o  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] H&gR.pyW  
H{y>2:V5N  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) AZm-d!T  
B<|H }6^i  
　　cos3a=4cos³a-3cosa g2Bx}y3T  
5q `#NXc  
　　=4cosa(cos²a-3/4) S]{V a(  
YM0gCx)  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] xr=+?><  
o wqV(   
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) i^6f^'z{  
}eRVAj ]  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) _7H+n~  
HVFD[WjWR  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} .qYQ{6]g\S  
bP6"C;WJ?  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) rtX1p~ dD  
dt x P  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <h+"gK_  
n*D+F{T1)  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &kT.eY|  
M_MYx5|o5  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) CO,v '  
5%1|pgoL  
　　上述两式相比可得 ^YFAJR"  
t)j(:_a*  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) UR$^) 0f 2  
\"=V|,T  
半角公式 I}.2wf"E  
{tyz!7n/  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,:9Mr et&  
eNs*:e1n;/  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. DyXS O  
nV75U>TQ;  
和差化积 R=eEF IVj  
8^!`@nLW  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6'prlw[Zxw  
<0O$pC)E  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Jll$hxs  
_> ^})c9H  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =V4[-N+(  
:*v({@Ih  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FI,X -qX#  
UR0FzE F  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Td6'F.r4a  
>wB*&.ZPj+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) e3<{ #sa{  
p@x6\B  
积化和差 r U)y X:  
6Gf-#P>%z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Ee7 M  
b&*6 [jz{]  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] iKU@LATC  
N 7} /,sk  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WO2ew{W_  
S5=v=G#ge  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] <m/iVC  
FP]sHK;_  
诱导公式 'rw=kQ  
TAb ? 4UC  
　　sin(-α) = -sinα 7E%\4(5Qn  
"%Ut~b&)j&  
　　cos(-α) = cosα F(ul'6'qp  
+,it7ig  
　　sin(π/2-α) = cosα bkJ&|=7>  
mJ y.  
　　cos(π/2-α) = sinα *FKJvIM;n  
^oCB9Em  
　　sin(π/2+α) = cosα 6#kT;u q  
09.=l\A`  
　　cos(π/2+α) = -sinα W#!F:NN8  
m:Mh0jYV  
　　sin(π-α) = sinα 6#E/UM;k  
,(R|[uC (#  
　　cos(π-α) = -cosα Q?6")"id-  
34t? Wk?A  
　　sin(π+α) = -sinα uT(;}` 0  
u]}?P{?6&  
　　cos(π+α) = -cosα Y_z.Ljq'  
j6)>)3(  
　　tanA= sinA/cosA Od/3Z6_WM  
#DkHY^R  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα F?%^"w(woB  
@-fD   
　　tan（π/2－α）＝cotα ][hD\  
Oh8oGoh  
　　tan（π－α）＝－tanα cy$Q)I;  
hy%8[`&[6  
　　tan（π＋α）＝tanα ~2<_+=N  
jM%JGy  
万能公式 YU;2Be "K  
Pgp~%y#`  
　　 )/T L^v-{W  
,!kV?UhI  
其它公式 <3,-E 0t  
5 3;H\"-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 LqlLEV~J  
9:NdV4{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0K1%}Tb  
a5S|m=4*yw  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 aNFnB4g3  
y/[+Y+|  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 zZ oC  
"WZ0h_7s6.  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^T>".*zzm  
.4Tm#dA\@N  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <S^lrFr*  
+[y)A  
　　证: Snr57  
qmE2d|  
　　A+B=π-C 9zt}}Xh;nx  
\@uqq'F\K  
　　tan(A+B)=tan(π-C) +~ee"$cv  
By LI!}[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \0RgPfY~%  
_;:LDuk  
　　整理可得 ;(,-5%  
Ag]9o",  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q+0F[Ft  
@ AQ![W  
　　得证 rdY?:b  
=5 d\6&+(  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 eQ@,Zj7,  
^7$mVh%  
其他非重点三角函数  0tNQ16  
GMgff/eP  
　　csc(a) = 1/sin(a) O OYgkd  
}#x4I  
　　sec(a) = 1/cos(a) bJ ^v|K@  
jld%=Q  
　　 cHS"2t)  
MX!Ca #X  
双曲函数 uOCZ5|$  
&Hym=)A  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Wy.P%KP lU  
ct:Lx!b  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5(}i:z.b2  
rdu)s;~f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,h P4j"]  
>$Je+@  
　　公式一： [\A y)(  
E'hcwJlA"  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M/IAYH  
x;<]]:x{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ^9>rA  
."P:)L b[  
　　cos（2kπ＋α）= cosα R6ulCL;  
|@3E4k5J&  
　　tan（kπ＋α）= tanα s>uvvP0  
hE p=/!Z#  
　　cot（kπ＋α）= cotα ,&maT,.  
rC5QA-su.&  
　　公式二： hWtS+{+S2F  
xbb} ~[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： A2[^  
h|!^([ i@*  
　　sin（π＋α）= -sinα c&+t)>H-  
-}@ s6 a  
　　cos（π＋α）= -cosα a[wnZT2  
=Fn7u=9  
　　tan（π＋α）= tanα d[ I)(C5  
zb4nOQ F  
　　cot（π＋α）= cotα D<Xqe%y  
h8 `]P-a  
　　公式三： \2;6=N \0t  
]U<W`xCK ,  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： MH;X{\3^,d  
$ovfYt)b  
　　sin（-α）= -sinα zt#,6dq9/  
{1(<,(d#/  
　　cos（-α）= cosα S5)^tJqK  
E0,9PA"~{  
　　tan（-α）= -tanα @<@qP-x  
%Jlvo:Q  
　　cot（-α）= -cotα u C^tsYo~  
<U,t<Gc4H{  
　　公式四： w %PB%hp  
t>{QUtI^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： q5j .{w|A  
I RO/J!  
　　sin（π-α）= sinα M.YW##f  
TevjnYD#X  
　　cos（π-α）= -cosα XDs^zw9*W  
pN[RUC^f  
　　tan（π-α）= -tanα p,xMrVo  
1|ILc  
　　cot（π-α）= -cotα nh/IalAs@  
`o+j<0}  
　　公式五： K\3h.)}  
6qgDF&>C  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： xTpV|GM^  
naclS/T 5  
　　sin（2π-α）= -sinα p6=!oTq7  
L9Wa  
　　cos（2π-α）= cosα "DaG -"v  
OKtgw2'|  
　　tan（2π-α）= -tanα j!u # xk  
BCxg'q  
　　cot（2π-α）= -cotα tga'5#  
If l'n  
　　公式六： IL*4)fO  
0+Q"Exq  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： GVvtZo`w  
RlMXbA/  
　　sin（π/2+α）= cosα /gsiHM,}  
klCijgZ?  
　　cos（π/2+α）= -sinα u) qxa8 w  
:NQ-oe/  
　　tan（π/2+α）= -cotα rT Fl  
lvUu&@ 3  
　　cot（π/2+α）= -tanα {s@=v(QmL  
VP)z,  
　　sin（π/2-α）= cosα LBWXh>PSto  
!i!pt + M  
　　cos（π/2-α）= sinα D'u'"4~  
eJ\w=N  
　　tan（π/2-α）= cotα #Q$uvn  
A%4XNdA&L  
　　cot（π/2-α）= tanα uZz\3A  
U9w%/5*0  
　　sin（3π/2+α）= -cosα m ]"U^!%  
'~&#:1/yK  
　　cos（3π/2+α）= sinα &|fB !f`o  
,)Mj4'g  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :Srv{_  
`*vhT]&2:  
　　cot（3π/2+α）= -tanα t6Ymm  
$S>9"i$V  
　　sin（3π/2-α）= -cosα G8kjG6gw!  
>L9LhuY  
　　cos（3π/2-α）= -sinα w&Yto@bI ;  
{'lK6O9L  
　　tan（3π/2-α）= cotα b+jk[g|k  
<>vVfZF  
　　cot（3π/2-α）= tanα 70': yRK  
xkss|NCB,  
　　(以上k∈Z) Mc*oGNFuf  
xCR9 @H  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Gb9)9}*  
`Fjz78;3u  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = "*`a(r!r  
!iTx)Z"s\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } i2]Slzs  
[v7In{'lSV  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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