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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 pIql),q<   
;rSVu"_3X  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. VmqJ_   
U0ss* cg  
　　1、三角函数本质： W\BH 6  
v<=uV(+hTV  
　　三角函数的本质来源于定义 r ;=C^C1t  
D% ~ NZ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 N+J:\uieY  
>]|FJwh  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &Ul\:\_  
zmY@*Ftd/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： bI$2#Mxco  
S~lqC8  
　　推导： <]7D&UOU  
AGAbL3%g<6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -z3TL ]Q  
)Ho/ v*#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) j?j[Uzi  
fr@n'Tr  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d] Dh9+  
!bP]7+b*  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 8y`[] L3 ]  
70)B&s  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） xD^6+R)  
e&<v3(vx  
　　[1] gi:L{{3Z;  
~L>^G@O  
　　两角和公式 s6d%t@+  
/X1 FRa)  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %S>nU\'H  
El: S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  :%l-xr< [  
*#aUz2  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 6.}j:*  
CS7:~vX:5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ZD> eKv,@  
)'6z2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6$E/YiYJj  
>M#Jn gn  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) !6`E85~L-  
ZVjNx2 Tw  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  F Cz<V/ v  
[ iFTj?T  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) t3>!K^p4  
bEcKew  
倍角公式 J$DpE_4!0  
?8>&%P(CgU  
　　Sin2A=2SinA•CosA rIY{.C  
k 3-$t'  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `Zqx9DoO  
bpp^HO#Ud  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ak=fN5n0  
FP#R1=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @?W,x  
G^SF lA/  
三倍角公式 n%in;8  
ZsX<D6q  
　　 KqTm&}ZT  
8524}E2u4P  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) x#?(Zv{  
le^U> 5H  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) cte_%9X  
e\:LXvZKH  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *c/ gU M  
H5[n/8D:  
三倍角公式推导 6HeDmr`[  
t!0 .2Zj'  
　　sin3a ~Qb(=t_U8  
k`xknFnK@  
　　=sin(2a+a) 1m#]I  
g_k`O^  
　　=sin2acosa+cos2asina c{4vt#d  
dh/E&4=FA  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4y u[#,y  
+p1(4@|5{  
　　=3sina-4sin³a T7gjg&d</  
KeP? vF`  
　　cos3a )rIKpX ,!  
;lz?WxEQ{I  
　　=cos(2a+a) "'k$Hh2V  
-JU,pmo1B  
　　=cos2acosa-sin2asina NB+} r%XP  
,;S_ W\H  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \mBX*rF  
@` =f X  
　　=4cos³a-3cosa bwI2tT>@  
V'rmr&vOI  
　　sin3a=3sina-4sin³a - XkM'  
zt+Iu#I*>  
　　=4sina(3/4-sin²a) {pD%z&  
; MX#E  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Lw:Gv<)g-  
y _!@*m  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) xA3L<rF  
% vPQ DJ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) q!_Afk$_  
>A#Vdk/0-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |I^B:yT_  
S s?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) kJoZugf?  
o 6 ('T`Rp  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 1*[uri  
S 6^  
　　=4cosa(cos²a-3/4) bd0w J_I  
&I;`6A'  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] %WV{Bs=  
2ReIS9I4%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) O,1CP0x[  
$T Q4?>  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^aqg-N  
9BV%jq6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vDJ(=4K_  
<KN4jl >  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^a#^URV)  
%n+fH 997  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] F2NE'%t[0v  
 2YOamgG  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] k6!jfhi  
=3 P1C#F  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) bYfpd-  
o2**N9e  
　　上述两式相比可得 D[&j`z].i  
p7yF.5G  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]@GG?I*Y  
<Z[P5Wy)0  
半角公式 ^NKhVSm  
ZvX(r-P+  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); }U~w?I  
U iR1! :  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. YM<c0-\g  
tBn4b2u"\  
和差化积 snXs]R  
4o~VC7 lo  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] oo[[I7?k  
CPAm^'^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M:nSusR  
2gX,8ay%Q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~UC;`j-  
<T^45  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }.`w=-8j  
Qp2teD  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) S"OQ8 t)  
%hk f q*  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 2J3/wF6  
UHTs0*9l  
积化和差 /x/j{ Ah  
E3 V@Eb  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] [Sw1uh4cy<  
fy7KzU?'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] |D.9g  
/8}LW,[QA  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] U`Xr% }J  
% ~ !56j"Q  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %,1$9-?  
[B24x dX;@  
诱导公式 CvY8?cmv,  
}[OE]%  
　　sin(-α) = -sinα \+$`qIR.  
KPeMn?`c  
　　cos(-α) = cosα a&}`/A /G  
f7}7PLSF{  
　　sin(π/2-α) = cosα D {u2Y5  
tBql/  
　　cos(π/2-α) = sinα @6N zFa^X  
b B>w?pr  
　　sin(π/2+α) = cosα ()~T = q  
'N+zvma  
　　cos(π/2+α) = -sinα Bw1@Vs-]  
E (^BKivi  
　　sin(π-α) = sinα GNA#$55A  
^HU_K+*  
　　cos(π-α) = -cosα Ok- 5+  
J!_nj x3  
　　sin(π+α) = -sinα uS`(Fs)o  
|b'. a-1  
　　cos(π+α) = -cosα = 8X`/v2  
ej]Gfn S|  
　　tanA= sinA/cosA r/ig<}_&  
+.12YQ[r  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα c0-tGP  
9FW6HRL  
　　tan（π/2－α）＝cotα eY2] SJ  
ly4mOQO  
　　tan（π－α）＝－tanα n^n:Hgj  
#sV?1Y  
　　tan（π＋α）＝tanα >Bd\s  
GZvY(Z%#  
万能公式 .<~e-a0S  
OTM:L(V  
　　 ;vy~S&R0  
)^WxO*@.  
其它公式 'Z T LCn*  
#=we n v  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 b0*@iC2  
iE",;;{G3{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 L.SgB5o  
-8 0jLk   
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ~+y=HB  
^kLk&~  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 0aF&S  
j[s} h  
　　对于任意非直角三角形,总有 (eRys/UP  
z3e^ z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC vYHz5So\  
@Y%: aeJ  
　　证: APoZ<zlH-  
v/+OkBk>  
　　A+B=π-C \6zg\OiJ  
uC' DMt  
　　tan(A+B)=tan(π-C) !3AzxE=a=  
P*`su3@c[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) M1V65v#&  
v o 6> MP)  
　　整理可得 x>Dd>C*J  
s_#Z:_6U.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b 3|3k8a  
sasS(Q'  
　　得证 sB=8B;  
P\#[yC  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 N~hV[  
"%( vQ _9.  
其他非重点三角函数 8O C BT'  
qlyL[0+L  
　　csc(a) = 1/sin(a) $s:gip\h  
(P } 1j  
　　sec(a) = 1/cos(a) .y<CRzc  
1B6]ai.  
　　 ZcFK| y'  
[N7*d_ Jp  
双曲函数 Y^IK )m  
vlfg\"+l  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .Rqy^|8(z  
A$s^+YL5W  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 yRqTDWOuQY  
hxX ~L!  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Mw|3 vi>  
}<["u^  
　　公式一： E}>3v,G.  
Rm^T^c3  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： P9hz %mv"  
,t$1I}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα bxeO>/pV#  
iG3jr}Rsm  
　　cos（2kπ＋α）= cosα {EQTAs,U4  
vNxVsy  
　　tan（kπ＋α）= tanα s6C%8  
|sYKo|N:  
　　cot（kπ＋α）= cotα ' Kk?eNA  
4F|XbJkh  
　　公式二： O_dm?  
6&wKrxIB-4  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： a6YC0"^>  
n'Ymh! $  
　　sin（π＋α）= -sinα jt@\2 9  
^j",!-Y@  
　　cos（π＋α）= -cosα ]zZmm~bp  
OQp1hDTXO  
　　tan（π＋α）= tanα RPN*h+  
5XQC;O,  
　　cot（π＋α）= cotα x)ZVf U3D  
Tk")it  
　　公式三： !SbT&"Cy  
R(c2#uOs)  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： YPJaPWq{  
UJ-{B r>  
　　sin（-α）= -sinα `H*WBI~  
7hFvO  
　　cos（-α）= cosα X? ~Xw<4  
Xupmme  
　　tan（-α）= -tanα )xku5^ Rh  
mt;sRY|8[\  
　　cot（-α）= -cotα _WAB^|>L+A  
F4Jb[He5  
　　公式四： 8L{N9  
|j~t;Gx/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： b )Ku$Z  
a~<3(-Eqov  
　　sin（π-α）= sinα ?kgvJdMU  
c]]+o_%I  
　　cos（π-α）= -cosα 5HE: <).  
H)I-z >  
　　tan（π-α）= -tanα !~j%p~0X[A  
R.~03  
　　cot（π-α）= -cotα &x 4|t-o  
`V.16>6l  
　　公式五： Bl 6xXuO  
wa<uw  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： v0EESJ c  
yv^& ?,n  
　　sin（2π-α）= -sinα ZLJ/bOO  
qS E  
　　cos（2π-α）= cosα _bWMdUze  
?}ch)  
　　tan（2π-α）= -tanα AnP^J<x  
xKtDy+||  
　　cot（2π-α）= -cotα $b!v 7:M  
Ji(K.U  
　　公式六： #.v"y,XZ/  
(.0u%H  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： b Q?kW`  
:ZqI,1XjY  
　　sin（π/2+α）= cosα b H7H:,  
S!36 T/_  
　　cos（π/2+α）= -sinα 'U^jvF  
R}wXYIb3y[  
　　tan（π/2+α）= -cotα Vn?he  
mQ':S^A[*  
　　cot（π/2+α）= -tanα U02GTv-sk  
6MlzI  
　　sin（π/2-α）= cosα oja/;  
Tm.,8I[(  
　　cos（π/2-α）= sinα 8 nqwf<L-  
`Q9_r}M]L  
　　tan（π/2-α）= cotα p1mtY32  
GKhUV)3S  
　　cot（π/2-α）= tanα kqk6spQN  
zJ=by#b>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /mKp4<-M\s  
qB(v|2fQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα ) CmdC  
`76pO   
　　tan（3π/2+α）= -cotα P;c8G0M  
2'04xFG  
　　cot（3π/2+α）= -tanα iul_MUEr\  
3WXt\JvBR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  >\? #  
|$dRDe$'C  
　　cos（3π/2-α）= -sinα b*~@n1} 3  
mNiR}@7K6  
　　tan（3π/2-α）= cotα E.1F,Kl\  
- >BE'  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2^-cRh(  
5@);-+d  
　　(以上k∈Z) hF$OgM M  
`jO:*&^D  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 +Q0DsW"  
J:NkuAPb|H  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = \MXx=35  
q0=e,rYt  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } .Jqz"M  
NTz=~wV[]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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